El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1. Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino.
2. El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del transporte total. La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta es directamente proporcional al número de unidades transportadas. La definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que se transporte.
Un método mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla siguiente:
Para que un problema pueda ser resuelto por el método del transporte debe cumplir:
1) La función objetivo y las restricciones deben ser lineales.
2) El total de unidades que salen en origen debe ser igual al total de unidades que entran en destino.
1) La función objetivo y las restricciones deben ser lineales.
2) El total de unidades que salen en origen debe ser igual al total de unidades que entran en destino.
Modelo de transporte
Donde:
ai = Capacidad de la fuente i.
bj = Demanda del almacén j.
m = Número de fuentes distribuidoras.
n = Número de destinos receptores.
Donde:
ai = Capacidad de la fuente i.
bj = Demanda del almacén j.
m = Número de fuentes distribuidoras.
n = Número de destinos receptores.
La matriz a emplear tiene las siguientes características:
Desde
Hasta 1 2 3 Demanda
1 C11 C12 C13 X1
2 C21 C22 C23 X2
3 C31 C32 C33 X2
Oferta X1 X2 X3
Las columnas 1, 2 y 3 son los lugares de origen.
Las filas 1,2 y 3 son los lugares de destino.
Las ofertas x1, x2 y x3 son las cantidades ofrecidas a los clientes.
Los Cij son los costos unitarios de traslado desde un origen hasta un destino.
Los Xij son la cantidad de bienes o recursos trasladados desde un origen hasta un destino.
Para poder resolver un problema de transporte la matriz original debe estar balanceada, es decir, las cantidades ofertadas deben ser iguales a las cantidades demandadas. De NO ocurrir esto se debe crear una fila o columna ficticia cuyos costos de traslados sean iguales a cero y la cantidad ofertada o demandada suficiente para lograr el balanceo.
Aunque existen varias técnicas para solucionar modelos de transporte la más importante de ellas es la de ”Aproximación de Vogel” ya que la solución obtenida a través de ella es la optima o está más próxima a la optima.
Método de solución inicial.
Mediante el uso del método simplex se pueden resolver los modelos de transporte y de cualquier otro tipo de problemas de programación lineal. Sin embargo debido a la estructura especial de modelo de transporte, podemos utilizar otro método que se ha diseñado para aprovechar las características de los problemas de transporte.
Los método de esquina noroeste, costo mínimo y aproximación de Vogel son alternativas para encontrar una solución inicial factible.
Esquina noroeste. Este método es considera el más fácil. Es también considerado por ser el menos probable para dar una buena solución inicial y de “bajo costo” porque ignora la magnitud relativa de los costos Cij.
Antes de describir el procedimiento, es necesario establecer que el número de variables básicas en cualquier solución básica de un problema de transporte es una menos de la que se espera. Normalmente, en los problemas de programación lineal, se tiene una variable básica para cada restricción. En los problemas de transporte con m recursos y n destinos el número de restricciones funcionales es m + n. Sin embargo,
el número de variables básicas = m + n - 1
Este procedimiento esta dado por los siguientes tres pasos:
1.- Seleccionar la celda de la esquina noroeste (esquina superior izquierda) para envío.
2.- Efectuar el más grande envío como pueda en la celda de la esquina noroeste.
Esta operación agotará completamente la disponibilidad de suministros en un origen o los requerimientos de demanda en un destino.
3.- Corrija los números de suministro y los requerimientos para reflejar lo que va quedando de suministro y requerimiento y regresar al paso 1.
El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m fuentes y n destinos. Una fuente o un destino está representado por un nodo, el arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es Cij.
Si Xi j representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j, entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte es:
Minimiza Z= S i=1 m S j=1 n C i j X i j
Sujeta a:
S j=1 n X i j <= ai , i=1,2,…, m
S i=1 m X I j >= bj , j=1,2,…, n
X i j >=0 para todas las i y j
El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo conjunto requiere que la suma de los envíos a un destino satisfaga su demanda.
El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total Si=1 m ai debe ser cuando menos igual a la demanda total Sj=1 n bj. Cuando la oferta total es igual a la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas las restricciones son ecuaciones, es decir:
SX i j = ai, i=1,2,..., m
SX i j = bj, j=1,2,..., n
El objetivo es el de formular el plan de inventario de producción a costo mínimo. Este problema se puede formular como un modelo de “transporte”. La equivalencia entre los elementos de los sistemas de producción y transporte se establece de la manera siguiente:
Sistema de Transporte | Sistema de Producción |
1. Fuente i | 1. Periodo de producción i |
2. Destino j | 2. Periodo de demanda j |
3. Oferta en la fuente i | 3. Capacidad de producción del periodo i |
4. Demanda en el destino j | 4. Demanda del periodo j |
5. Costo de transporte de la fuente i al destino j | 5. Costo de producto e inventario del periodo i al j |
En tabla de abajo se presenta un resumen del problema como un modelo de transporte:
Periodo | ||||||
1 | 2 | 3 | 4 | Capacidad | ||
Demanda | 1 | 4 | 4.5 | 5 | 5.5 | 50 |
2 | 6 | 4 | 4.5 | 5 | 180 | |
3 | 8 | 6 | 4 | 4.5 | 280 | |
4 | 10 | 8 | 6 | 4 | 270 | |
Demanda: | 100 | 200 | 180 | 300 |
El costo de “transporte” unitario del periodo i al j es:
Costo de producción en i, i=j
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